La réélection de Donald Trump et la théorie des probabilités conditionnelles de Thomas Bayes

Donald Trump a été élu pour un second mandat, quatre ans après son premier, lors de l'élection de la semaine dernière, avec une avance marquée en termes de voix et de grands électeurs. Il deviendra le 47e président en janvier prochain. Dans le magazine Download du MIT, l'une des universités technologiques les plus importantes des États-Unis, un commentaire sur Trump est paru la semaine dernière : « La victoire décisive de Donald Trump est un revers frappant pour la lutte contre le changement climatique ». De nombreux autres commentaires évoquent sa volonté de mettre fin à la guerre russo-ukrainienne, sa tendance à privilégier la Chine comme ennemi principal plutôt que la Russie, son absence d'efforts pour stopper la guerre inhumaine à Gaza, et son adoption d'un modèle économique axé sur la production tout en soutenant la généralisation des cryptomonnaies.

Ces commentaires et d'autres soulignent que le second mandat de Trump pourrait être marqué par le chaos. Il pourrait y avoir une part de vérité dans cette idée de chaos, car lors de son premier mandat, nous utilisions des exemples de ses actions et de ses déclarations dans nos cours à l'université pour illustrer les concepts de « post-vérité » (post-truth) et de « fausses nouvelles » (fake news). Comme on s'en souvient, Jack Dorsey, le fondateur de Twitter, avait suspendu le compte que Trump utilisait à l'époque en invoquant ses déclarations relevant de la post-vérité. Plus tard, Elon Musk, qui a racheté Twitter pour le renommer X et qui est devenu le plus important soutien de Trump ainsi que l'un des leaders d'opinion ou « influenceurs » les plus influents au monde, a fait organiser un vote sur X pour rétablir le compte au nom de la « liberté d'expression pour toutes les pensées ». Il a d'ailleurs su se faire une place sur la photo de famille après la victoire électorale de Trump. En 1993, alors que les démocrates étaient au pouvoir et que l'Internet était ouvert à un usage individuel et commercial dans le monde entier, le vice-président Al Gore avait également mis l'accent sur la liberté avec le slogan « construire des autoroutes pour la libre circulation de l'information ».

Si j'évoque tout cela, c'est pour suggérer que les événements passés peuvent avoir une influence significative sur les événements futurs. Bien sûr, cette idée n'est pas nouvelle et a été théorisée par le célèbre mathématicien Thomas Bayes (1702-1761). En tant qu'une des figures importantes de l'époque des Lumières, ses idées et théories sont encore utilisées aujourd'hui dans les domaines des statistiques et de l'économie. Les algorithmes utilisés par les plateformes de médias sociaux, dont certains d'entre nous se plaignent et d'autres se réjouissent, et qui décident de ce que nous allons aimer, acheter ou pour qui nous allons voter, reposent fondamentalement sur ses théories. Il peut être utile d'illustrer cette théorie par une anecdote historique tirée du livre de David Salsburg, « La dame goûte le thé » (2001), pour en faciliter la lecture et la compréhension.

La République de Venise fut une puissance majeure en Méditerranée du VIIIe siècle jusqu'au début du XVIIIe siècle. À l'apogée de son empire, Venise contrôlait une grande partie des côtes de l'Adriatique ainsi que les îles de Crète et de Chypre ; elle détenait également le monopole du commerce entre l'Orient et l'Europe. Venise était gouvernée par des familles nobles qui avaient instauré une forme de démocratie entre elles. La personne portant le titre de chef de l'État était appelée « doge ». Depuis la fondation de la République en 697 jusqu'à la prise de Venise par l'Autriche en 1797, plus de cent cinquante personnes ont exercé la fonction de doge ; certains ont occupé le poste pendant moins d'un an, tandis qu'un autre y est resté trente-quatre ans. À la mort du doge, la république entrait dans un processus électoral complexe. Un petit groupe était déterminé par tirage au sort parmi les membres seniors des familles nobles pour agir en tant qu'« électeurs ». Ces électeurs choisissaient ensuite de nouveaux membres pour les rejoindre, puis un petit nombre était tiré au sort parmi ce groupe élargi. Ce processus se poursuivait sur plusieurs étapes, et lors de la dernière phase, un groupe final était sélectionné parmi les électeurs pour désigner le doge. Finalement, ce groupe délibérait entre eux pour élire le chef de l'État.

Au début de l'histoire de la République, les négociateurs (électeurs) étaient choisis en préparant un groupe de boules de cire, dont certaines étaient vides et d'autres contenaient des morceaux de papier sur lesquels était écrit le mot « électeur ». Au XVIIe siècle, les dernières étapes étaient réalisées en utilisant des boules d'or et d'argent de même taille.

En 1268, à la mort du doge Rainieri Zeno, il y avait trente négociateurs à la deuxième étape et trente boules de cire avaient été préparées. Neuf d'entre elles contenaient des papiers sur lesquels était écrit « électeur ». Un petit enfant avait été amené pour choisir les boules et les donner aux négociateurs. L'enfant tirait une boule du panier et la donnait aux négociateurs un par un. Les négociateurs ouvraient la boule pour voir s'ils étaient négociateurs pour l'étape suivante, et le processus continuait ainsi.

Avant que l'enfant ne choisisse la première boule, la probabilité que chaque membre du groupe soit négociateur à l'étape suivante était de 9/30. Si la première boule était vide, la probabilité que chacun des membres restants soit choisi passait à 9/29. Si la première boule contenait un papier, la probabilité que chacun des membres restants soit choisi tombait à 8/29. Lorsque la deuxième boule était choisie et ouverte, la probabilité que le membre suivant soit choisi comme négociateur diminuait ou augmentait de manière similaire en fonction du résultat de ce tirage. Ce processus se poursuivait jusqu'à ce que les neuf boules marquées soient toutes choisies. À ce stade, la chance pour les membres restants d'être négociateurs à l'étape suivante tombait à zéro.

Ceci est un exemple typique de probabilité conditionnelle. La probabilité qu'un membre spécifique soit négociateur à l'étape suivante dépendait du choix des boules avant sa sélection. De même, nous savons aujourd'hui que la probabilité qu'un patient soit atteint d'un cancer du poumon à un stade précoce dépend de ses antécédents de tabagisme.

Toutes les formules développées au XVIIIe siècle pour traiter les probabilités conditionnelles reposaient sur l'idée que les événements conditionnels se produisaient avant l'événement recherché. Vers la fin du siècle, Thomas Bayes a fait une découverte surprenante en jouant avec les formules de probabilité conditionnelle : les formules possédaient une symétrie interne.

Supposons qu'il y ait deux événements se produisant sur une période donnée, comme mélanger un jeu de cartes puis distribuer une main de poker de cinq cartes. Appelons ces événements « avant » et « après ». Il est logique de parler de la probabilité que l'événement « après » dépende de l'événement « avant ». Si nous ne mélangeons pas bien les cartes, cela affecte la probabilité d'obtenir deux as dans une main de poker. Bayes a découvert que nous pouvions également calculer la probabilité que l'événement « avant » dépende de l'événement « après ». Mais cela semblait illogique. C'était comme déterminer la probabilité que le jeu de cartes contienne quatre as une fois qu'une main de poker contenant deux as a été distribuée. Ou comme déterminer la probabilité qu'un patient ait fumé en se basant sur l'information qu'il a un cancer du poumon. Ou encore comme déterminer si un tirage de loterie est équitable en considérant uniquement le fait qu'une personne nommée Ali Chanceux (qui a réellement gagné la loterie) est le gagnant.

Bayes n'a pas continué à travailler sur ces calculs, mais ses travaux ont été retrouvés parmi ses documents après sa mort et publiés à titre posthume. Le théorème de Bayes a depuis complexifié les mathématiques de l'analyse statistique. Le fait que Bayes inverse la probabilité conditionnelle est souvent très logique. Nous appelons cela une étude cas-témoins. Par exemple, les cas de maladie (on peut dire le groupe après la maladie) sont rassemblés et comparés à un groupe de personnes qui n'ont pas cette maladie mais qui présentent des similitudes avec les malades à d'autres égards (on peut dire le groupe avant la maladie ou groupe témoin). Les effets du tabagisme sur les maladies cardiaques et le cancer du poumon ont été découverts pour la première fois de cette manière.

Il est assez simple de dire, et possible d'expliquer avec la théorie des probabilités conditionnelles : Trump s'entendait mal avec la Chine lors de son premier mandat. Il imposait des sanctions. Par conséquent, il est fort probable que nous vivions une situation similaire lors de ce second mandat. Alors, comment pouvons-nous faire une prévision sur le second mandat de Trump en utilisant la symétrie interne de la théorie des probabilités conditionnelles de Bayes ? Car puisque Bayes avait découvert que nous pouvions également calculer la probabilité que l'événement « avant » dépende de l'événement « après », pourquoi ne pas l'appliquer au nouveau mandat de Trump ? Avec un exemple simplifié, nous pouvons penser que nous pouvons faire ceci : nous pouvons comparer les contre-mesures probables que la Chine prendra durant le nouveau mandat de Trump avec les réactions de la Chine face aux sanctions imposées par Trump lors de son premier mandat. Ainsi, nous pouvons voir à quel point les sanctions que Trump a appliquées lors de son mandat précédent sont probables face à ces manœuvres que la Chine pourrait effectuer. En d'autres termes, nous pouvons calculer les probabilités de réappliquer les sanctions que Trump avait imposées à la Chine lors de son premier mandat. Ou alors, nous pouvons simplement nous asseoir et attendre de voir ce que Trump va faire.